प्रश्नावली 1 (A)
Question 1
निम्नलिखित संख्याओं का H.C.F. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
(A) 135 और 225
(B) 196 और 38220
Sol :
(C) 867 और 225
Sol :
Sol :
सर्वप्रथम चरण 1 से हम सबसे छोटी संख्या प्राप्त करते हैं जो 135 है। अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करेंगें।
$225=135 \times 1+90$
90 शेषफल प्राप्त होता है। पुनः चरण 2 से यह क्रिया दोहराने पर पाते हेै :
$135=90 \times 1+45$
अब 45 शेषफल प्राप्त होता है। पुनः चरण 3 वे द्वारा हम पाते है :
$90=45 \times 2+0$
अतः चरण 3 में भाजक 45 द्वारा हमें शेषफल शून्य (0) प्राप्त हुआ है।
अत: 135 और 225 का H.C.F.45 होगा।
(B) 196 और 38220
Sol :
सर्वप्रथम चरण 1 से हम सबसे छोटी संख्या प्राप्त करते हैं, जो 196 है।। अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं :
$38220=196 \times 195+0$
अतः भाजक 196 द्वारा हमें चरण 1 में ही शेषफल शून्य (0) प्राप्त हो गया।
अतः 196 और 38220 का H.C.F. 196 होगा।
(C) 867 और 225
Sol :
सर्वप्रथम चरण 1 से हम सबसे छोटी संख्या प्राप्त करते हैं जो 255 है। अब यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं
$867=255 \times 3+102$
अब 102 शेषफल प्राप्त होता है। पुन : चरण 2 के द्वारा हम पाते हैं।
$255=102 \times 2+51$
अब 51 शेषफल प्राप्त होता है। पुनः चरण 3 से क्रिया दोहराने पर,
$102=51 \times 2+0$
अत : चरण 3 में भाजक 51 द्वारा हमें शेषफल शून्य (0) प्राप्त हुआ है।
अतः 867 और 255 का H.C.F. 51 होगा।
Question 2
यूक्लिड एलोरिथ्म के प्रयोग से 240 और 228 का H.C.F ज्ञात कीजिए।Sol :
यूक्लिड एलोरिथ्म के प्रयोग से,
$240=228 \times 1+12$
$228=12 \times 19+0$
पुन : यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है।
अतः HCF (240, 228)=12
Question 3
यूक्लिड विभाजन एलोरिथम के प्रयोग से 92690, 7378 और 7161 का HCF ज्ञात कीजिए।
Sol :
सर्वप्रथम 92690 तथा 7378 लेते हैं तथा इनमें यूक्लिड एल्गोरिथ्म के प्रयोग से,
$92690=7378 \times 12+4154$
चूँकि शेषफल शून्य नही है, तब
$7378=4154 \times 1+3224$
∴ शेषफल शून्य नही है, तब
$4154=3224 \times 1+930$
∵ शेषफल शून्य नहीं है, तब
$3224=930 \times 3+434$
∴ शेषफल शून्य नर्ही है, तब
$930=434 \times 2+62$
∴ शेषफल शून्य नहीं है, तब
$434=62 \times 7+0$
यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है, तब
HCF(92690,7378)=62
परन्तु अब पुनः 62 और तीसरा शेष पद 7161 लेकर यूक्लिड एल्गोरिथ्म के प्रयोग से,
$7161=62 \times 115+31$
∵ शेषफल शून्य नहीं है, तब
$62=31 \times 2+0$
यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है, तब
HCF(7161 , 62)=31
अतः HCF(92690 , 7378 , 7161)=31
Question 4
यूक्लिड विभाजन एलोरिथ्म के प्रयोग से 306 और 1314 का HCF ज्ञात कीजिए।
Sol :
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से,
अतः 306 और 1314 का HCF=18 है।
Question 5
यूक्लिड विभाजन एलोरिथ्म के प्रयोग से 657 और 963 का HCF ज्ञात कीजिए।
Sol : यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से.
अतः 657 और 963 का HCF=9 है।
Question 6
यूक्लिड विभाजन एलोरिथ्म के प्रयोग से 90 और 144 का HCF ज्ञात कीजिए।
Sol : यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से.
अतः 90 और 144 का HCF=18 है।
Question 7
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है।
Sol :
मान लीजिए a कोई धनात्मक पूर्णाक है तथा b=6 है।
अब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से, a=6 q+r जहाँ q≥0 और 0≤r<6
अर्थात् r=0,1,2,3,4,5 को क्रमश: a=6q+r में रखने पर,
अतः a=6q जो 6 से विभाज्य है अर्थात् सम है
या a=6q+1 जो 2 से विभाज्य नही है।
या a=6q+2 जो 2 विभाज्य है।
या a=6q+3 जो 2 से विभाज्य नही है।
या a=6q+4 जो 2 विभाज्य है।
या a=6q+5 जो 2 से विभाज्य नहीं है।
यदि a=6q या 6q+2 या 6q+4 हो तो ये संख्याएँ सम धन पूर्णाक हैं।
जबकि 6q+1 , 6q+3 , 6q+5 विषम धन पूर्णाक हेै, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
Question 8
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है?
Sol :
प्रश्नानसुार, आर्मी की टुकड़ियों के दो समूह हैं तथा समूह के स्तम्भों की संख्या समान दी गयी है।
पहली टुकड़ी में जवानों की संख्या =616
दूसरी टुकड़ी में जवानों की संख्या = 32
प्रश्नानुसार, अब स्तम्भों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए हमें H.C.F. निकालना पड़ेगा।
अतः यूक्लिड प्रमेयिका से,
$616=32 \times 19+8$
∵ शेषफल 8≠0 है अतः चरण 2 के अनुसार क्रिया को पुन : दोहराते हें :
$32=8 \times 4+0$
∵शेषफल 0 है और भाजक 8 प्राप्त हुआ है।
∵616 तथा 32 का H.C.F. 8 होगा।
अत: स्तम्भों की अधिकतम संख्या 8 होगी।
Question 9
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी प्रणांक m के लिए 3m या 3m+1 के रुप में होता है।
Sol :
मान लीजिए कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है तो हम इसको 3q, 3q+1 के रूप में लिख सकते हैं।हमको सिद्ध करना है कि $x^{2}$ को 3m या 3m+1 के रूप में लिखा जाता है।
यदि x=3q
या $x^{2}=9 q^{2}=3\left(3 q^{2}\right)=3 m$
जहाँ $m=3 q^{2}$ है।
अत :$x^{2}=3 m$...(i)
यदि x=3q+1
$x^{2}=(3 q+1)^{2}$
$=9 q^{2}+1+2 \times 3 q \times 1$
$=3.3 q^{2}+2 \times 3 q \times 1+1$
$=3\left(3 q^{2}+2 q\right)+1$
∴ $x^{2}=3 m+1$..(ii)
जहाँ $m=3 q^{2}+2 q$ जबकि m एक पूर्णाक है।
संमीकरण (i) व (ii) से,
$x^{2}=3 m , 3 m+1$
अतः किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m, 3m+1 के रूप का होता है।
Question 10
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दिखाइए कि किसी धनात्मक पूर्णीक का घन 9m , 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।
Sol :
माना कि x एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः x=3q, 3q+1 ; 3q+2
(जहाँ b=3 है ) सर्वप्रथ्म x=3q रखने पर,
सर्वप्रथम x=3q रखने पर,
x=3q
$x^{3}=(3 q)^{3}=27 q^{3}$
$x^{3}=9\left(3 q^{3}\right)$
$x^{3}=9 m$, (जहाँ $m=3 q^{3}$)
x=3q+1
$(x)^{3}=(3 q+1)^{3}$
$x^{3}=27 q^{3}+27 q^{2}+9 q+1$
$=9\left(3 q^{3}+3 q^{2}+q\right)+1$
=9m+1
जहाँ $3 q^{3}+3 q^{2}+q=m$ , जो एक पूर्णांक है।
और x=3q+2
$x^{3}=(3 q+2)^{3}=27 q^{3}+54 q^{2}+36 q+8$
$=9\left(3 q^{3}+6 q^{2}+4 q\right)+8$
=9m+8 ,
जहाँ $m=3 q^{3}+6 q^{2}+4 q$
अतः किसी धनांत्मक पूर्णांक किसी पूर्णाक के लिए 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।
Question 11
441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एलोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
Sol :
मान लीजिए a=693, b=567 तथा c=441
अब, यूक्लिड विभाजन'एल्गोरिथ्म से,
a=bq+r, जहाँ $0 \leq r<b$...(i)
सर्वप्रथम हम a=693 तथा b=567 का म. स. ज्ञात करेंगे।
$693=567 \times 1+126$
$567=126 \times 4+63$
$126=63 \times 2+0$
∴म. स. (693 , 567)=63
अब, 441 तथा 63 से,
$441=63 \times 7+0$
म.स(693 , 567, 441)=63
Question 12
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णीक का वर्ग, किसी पूर्णाक q के लिए या तो 4q या 4q+1 के रूप का होता है
Sol :
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a=bq+r, $0 \leq r<b$..(i)
समी (i) मे b=14 रखने पर
a=4q+r (∵ r=0,1,2,3)
यदि r=0, तब a=4q+0=4q अथात् a=4q
$a^{2}=16 q^{2}$...(ii)
यदि r=1, तब q=4q+1
$a^{2}=(4 q+1)^{2}$
$a^{2}=16 q^{2}+8 q+1$
$=4\left(4 q^{2}+2 q\right)+1$...(iii)
यदि r=2, तब a=4q+2
$a^{2}=(4 q+2)^{2}$
$a^{2}=16 q^{2}+16 q+4$
$a^{2}=4\left(4 q^{2}+4 q+1\right)$...(iv)
या a=4q+3
जब r=3 लो, तब $a^{2}=(4 q+3)^{2}$
$=16 q^{2}+24 q+9$
$a^{2}=16 q^{2}+24 q+8+1$
$a^{2}=4\left(4 q^{2}+6 q+2\right)+1$...(v)
समी (ii) से, $16 q^{2}=4\left(4 q^{2}\right)=4 m$
जहाँ $m=4 q^{2}$
समी (iii) से, $4\left(4 q^{2}+2 q\right)+1=4 m+1$
जहाँ $m=4 q^{2}+2 q$
समी (iv) से, $4\left(4 q^{2}+4 q+1\right)=4 m$
जहाँ $m=4 q^{2}+4 q+1$
समी (v) से, $4\left(4 q^{2}+6 q+2\right)+1=4 m+1$
जहाँ $m=4 q^{2}+6 q+2$
अतः किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए 4q या 4q+1 के रूप का होता है।
Question 13
यूक्लिड एलोरिथ्म के प्रयोग से 378,180 और 420 का HCF ज्ञात कीजिए।
Sol :
यूक्लिड एलोरिथ्म के प्रयोग से,
तथा
यहौं 180 और 378 का HCF=18 तथा 180 और 420 का HCF=60
अब 60 और 18 का HCF ज्ञात करेंगे :
अतः 378 , 180 और 420 का HCF=6 है।
Question 14
यूक्लिड की विभाजन एलोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 398,436 और 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7,11 और 15 प्राप्त हो।
Sol :
दिए गए शेषफलों को संख्याओं से घटाने पर,
398-7=391
436-11=425
542-15=527
यहाँ 391<425
अब 391 और 425 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
$425=391 \times 1+34$
$391=34 \times 11+17$
$34=17 \times 2+0$
यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है।
∴425<527
अब 425 और 527 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
$527=425 \times 1+102$
$425=102 \times 4+17$
$102=17 \times 6+0$
यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है।
अत : दोनों ही स्थितियों में भाजक 17 प्राप्त हुआ।
अतः बड़ी से बड़ी संख्या 17 है।
Question 15
यूक्लिड की विभाजन' एलोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 और 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 और 7 प्राप्त हो।
Sol :
दिए गए शेषफलों को संख्याओं से घटाने पर,
2053-5=2048
और 967-7=960
∵960<2048
अब 2048 और 960 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर
$2048=960 \times 2+128$
$2048=960 \times 2+128$
$128=64 \times 2+0$
यहाँ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है और भाजक 64 है। अतः बडी से बडी संख्या 64 है।
