प्रश्नाबलीं 14 (A)
प्रश्न 1:
किसी कक्षा में 120 दिनों की अवधि में अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या
निम्नलिखित सारणी में दी गई है :
| दिनों की संख्या | अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
| 10 | 2 |
| 52 | 3 |
| 32 | 4 |
| 15 | 5 |
| 4 | 6 |
| 2 | 7 |
प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
| दिनों की संख्या $x_i$ | अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या $f_i$ | $f_i x_i$ |
| 2 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 3 |
| 10 | 2 | 20 |
| 52 | 3 | 156 |
| 32 | 4 | 128 |
| 15 | 5 | 75 |
| 4 | 6 | 24 |
| 2 | 7 | 14 |
| योग | 28 | 420 |
प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या
$\begin{aligned}&=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}
\\&=\frac{420}{28}=15\end{aligned}$
प्रश्न 2
60 परीकार्थियों के किसी विषय में प्राप्त अंक निम्नलिखित सारणी में दिए हैं :
| प्राप्तांक | परीक्षार्थियों की संख्या | प्राप्तांक | परीकार्थियों की संख्या |
| 01 | 02 | 06 | 13 |
| 03 | 05 | 07 | 10 |
| 04 | 07 | 09 | 07 |
| 05 | 12 | 10 | 04 |
इन परीक्षार्थियों के प्राप्तांक का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी
| प्राप्तांक (x) | परीक्षार्थियों की संख्या (f) | $f \times x$ |
| 01 | 02 | 2 |
| 03 | 05 | 15 |
| 04 | 07 | 28 |
| 05 | 12 | 60 |
| 06 | 13 | 78 |
| 07 | 10 | 70 |
| 09 | 07 | 63 |
| 10 | 04 | 40 |
| $\Sigma f=\mathrm{N}=60$ | $\Sigma f x=356$ |
समांत्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\mathrm{~N}}=\frac{356}{6 \theta}=5.93 .$
प्रश्न 3.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की
अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकाई की। एक विदार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा
उनका माध्य ज्ञात कीजिए।
| दिनों की संख्या | 0-6 | 6-10 | 10-14 | 14-20 | 20-28 | 28-38 | 38-40 |
| विद्यार्धियों की संख्या | 11 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 | 1 |
हल :
सारणी
| दिनों की संख्या | विद्यार्थियों की संख्या $(f_i)$ | मध्य-बिन्दु $(x_i)$ | $f_i \times x_i$ |
| 0-6 | 11 | 3 | 33 |
| 6-10 | 10 | 8 | 80 |
| 10-14 | 7 | 12 | 84 |
| 14-20 | 4 | 17 | 68 |
| 20-28 | 4 | 24 | 96 |
| 28-38 | 3 | 33 | 99 |
| 38-40 | 1 | 39 | 39 |
| योग | 40 | 499 |
माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$=\frac{499}{40}$
=12.475
अतः विद्यार्थियों की अनुपस्थिति का माध्य 12.475 होगा।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन से ऊँचाई का सभान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :
| उँचाई (सेमी में) | 150 | 160 | 158 | 155 | 164 | 168 |
| आदमिंमें की संख्या | 10 | 14 | 8 | 15 | 7 | 16 |
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
| ऊँचाई (x) | आदमियों की संख्या $(f)$ | $f \times x$ |
| 150 | 10 | 1500 |
| 160 | 14 | 2240 |
| 158 | 8 | 1264 |
| 155 | 15 | 2325 |
| 164 | 7 | 1148 |
| 168 | 16 | 2688 |
| योग | $\Sigma f=70$ | $\Sigma f \times x=11,165$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\sum f \times x}{f}=\frac{11165}{70}=159.5$.
प्रश्न 5
अज्ञात चर a का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित बंटन का माध्य
| x | 12 | 20 | 27 | 33 | a | 54 |
| f | 8 | 16 | 48 | 90 | 30 | 8 |
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
| x | f | $f \times x$ |
| 12 | 8 | 96 |
| 20 | 16 | 320 |
| 27 | 48 | 1296 |
| 33 | 90 | 2970 |
| a | 30 | 30a |
| 54 | 8 | 432 |
| योग | $\Sigma f=200 $ | $\sum f \times x=5114+30 a$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$
$\begin{aligned}31.87 &=\frac{.5114+30 a}{200} \\5114+30 a &=31.87
\times 200=6374 \\30 a &=6374-5114 \\30 a &=1260 \\a
&=\frac{1260}{30}=42 \\a &=42\end{aligned}$
प्रश्न 6.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य 21 है, p का मान ज्ञात कीजिए :
| x | 10 | 15 | 20 | 25 | 35 |
| f | 6 | 10 | p | 10 | 8 |
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
| x | f | $f \times x$ |
| 10 | 6 | 60 |
| 15 | 10 | 150 |
| 20 | p | 50p |
| 25 | 10 | 250 |
| 35 | 8 | 280 |
| योग | $\Sigma \boldsymbol{f}=34+p $ | $ \Sigma \boldsymbol{f} \times\boldsymbol{x}=740+20 \boldsymbol{p} $ |
समान्तर माध्य =21
$\begin{gathered}\Sigma f=34+p \\\Sigma f x=740+20 p\end{gathered}$
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$
$\begin{aligned}21 &=\frac{740+20 p}{34+p} \\(34+p) \times 21
&=740+20 p \\34 \times 21+21 p &=740+20 p \\21 p-20 p &=740-34
\times 21\end{aligned}$
$p=740-714$
$p=26$
$p=26$
प्रश्न 7.
निम्नलिखित सारणी से आयु माध्य ज्ञात कीजिए :
| कर्ग अन्तराल | बारम्बारता |
| 10-19 | 4 |
| 20-29 | 10 |
| 30-39 | 22 |
| 40-49 | 26 |
| 50-59 | 16 |
| 60-69 | 12 |
| 70-79 | 6 |
| 80-89 | 4 |
हल :
| वर्ग अन्तराज | $(f_i)$ | $(x_i)$ | $f_ \times x_i$ |
| 10-19 | 4 | 14.5 | 58 |
| 20-29 | 10 | 24.5 | 245 |
| 30-39 | 22 | 34.5 | 759 |
| 40-49 | 26 | 44.5 | 1157 |
| 50-59 | 16 | 54.5 | 872 |
| 60-69 | 12 | 64.5 | 774 |
| 70-79 | 6 | 74.5 | 447 |
| 80-89 | 4 | 84.5 | 338 |
| योग | 100 | 4650 |
आयु का माध्य $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{k}
f_{i}}=\frac{4650}{100}=46.50$.
प्रश्न 8.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर प्रतिशत में दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :
| साक्षरता दर (प्रतिशत में) | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 | 85-95 |
| नगरों की संख्या | 3 | 10 | 11 | 8 | 3 |
हल :
माध्य साक्षरता दर ज्ञात करने हेतु सारणी
| साक्षरता दर (प्रतिशत में) | नगरों की संख्या $f_i$ | मध्य-बिन्दु $(x_i)$ | $d_i=x_i-A$ | $f_i \times d_i$ |
| 45-55 | 3 | 50 | -20 | -60 |
| 55-65 | 10 | 60 | -10 | -100 |
| 65-75 | 11 | 70(A) | 0 | 0 |
| 75-85 | 8 | 80 | 10 | 80 |
| 85-95 | 3 | 90 | 20 | 60 |
| योग | 35 | -20 |
माध्य साक्षरता दर, $\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma
f_{i}}$
$\begin{aligned}&=70+\left(\frac{-2 n}{35}\right) \\&=70-\frac{4}{7}
\\&=70-0.57=69.43\end{aligned}$
अतः माध्य साक्षरता दर $69.43 \%$ होगी।
प्रश्न 9.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| छात्रों की संख्या | 12 | 7 | 16 | 12 | 11 | 7 | 19 | 16 |
हल :
| प्राप्तांक | छात्रों की संख्या $(f)$ | मध्य बिन्दु (x) | $f \times x$ |
| 0-10 | 12 | 5 | 60 |
| 10-20 | 7 | 15 | 105 |
| 20-30 | 16 | 25 | 400 |
| 30-40 | 12 | 35 | 420 |
| 40-50 | 11 | 45 | 495 |
| 50-60 | 7 | 55 | 385 |
| 60-70 | 19 | 65 | 1235 |
| 70-80 | 16 | 75 | 1200 |
| योग | $\Sigma f =100$ | $\Sigma f x=4300$ |
अभीष्ट माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}=\frac{4300}{100}$
=43 .
प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | छात्र संख्या |
| 10 से कम | 12 |
| 20 से कम | 19 |
| 30 से कम | 35 |
| 40 से कम | 47 |
| 50 से कम | 58 |
| 60 से कम | 65 |
| 70 से कम | 84 |
| 80 से कम | 100 |
हल :
पहले सारणी को वर्ग अन्तराल के रूप में लिखेंगे तथा उनकी बारम्बारता ज्ञात करेंगे।
| प्राप्तांक | मध्यमान (x) | संचयी बारम्बारता | बारम्बारता $(f)$ | $ f \times x$ |
| 0-10 | 5 | 12 | 12 | 60 |
| 10-20 | 15 | 19 | 7 | 105 |
| 20-30 | 25 | 35 | 16 | 400 |
| 30-40 | 35 | 47 | 12 | 420 |
| 40-50 | 45 | 58 | 11 | 495 |
| 50-60 | 55 | 65 | 7 | 385 |
| 60-70 | 65 | 84 | 19 | 1235 |
| 70-80 | 75 | 100 | 16 | 1200 |
| योग | $\Sigma \boldsymbol{f}=100 $ | $\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{x}=4300$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}$
$\begin{aligned}\Sigma f \times x &=4300, \Sigma f=100
\\&=\frac{4300}{100}=43\end{aligned}$
समान्तर माध्य =43
प्रश्न 11.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय कोदर्शाती है :
| दैनिक व्यय (रुपयों में) | 100-150 | 150-200 | 200-250 | 250-300 | 300-350 |
| परिवारों की संख्या | 4 | 5 | 12 | 2 | 2 |
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
दैनिक भोजन पर व्यय हेतु माध्य सारणी
| दैनिक व्यय (रुपयों में) | परीवारों की संख्या $(f_i)$ | मध्य-बिन्दु $(x_i)$ | $d_i=x_i-A$ | $f_i \times d_i$ |
| 100-150 | 4 | 125 | -100 | -400 |
| 150-200 | 5 | 175 | -50 | -250 |
| 200-250 | 12 | 225 (A) | 0 | 0 |
| 250-300 | 2 | 275 | 50 | 100 |
| 300-350 | 2 | 325 | 100 | 200 |
| योग | 25 | -350 |
भोजन पर हुआ माध्य व्यय,
$\begin{aligned}\bar{x} &=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma
f_{i}} \\&=225+\left(\frac{-350}{25}\right) \\&=225-14 \\\bar{x}
&=211\end{aligned}$
अतः भोजन पर हुआ माध्य व्यय ₹ 211 होगा।
प्रश्न 12.
40 परिवारों का पानी का खर्च निम्नलिखित तालिका में दिया हुआ है। पानी का औसत खर्च रुपये में ज्ञात कीजिए।
| पानी का खर्च (रुपयों में) | घरों की संख्या |
| 25-30 | 7 |
| 30-35 | 8 |
| 35-40 | 9 |
| 40-45 | 10 |
| 45-50 | 6 |
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
| पानी का खर्च (रुपयों में) | घरों की संख्या $(f)$ | मध्यमान x | $f \times x$ |
| 25-30 | 7 | 27.5 | 192.5 |
| 30-35 | 8 | 32.5 | 260.0 |
| 35-40 | 9 | 37.5 | 337.5 |
| 40-45 | 10 | 42.5 | 425.0 |
| 45-50 | 6 | 47.5 | 285.0 |
| योग | $\sum f=40$ | $\sim f \times x=1500$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times
x}{\mathrm{~N}}=\frac{1500}{40}=\frac{75}{2}=37.5$
समान्तर माध्य =37.5
प्रश्न 13.
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता |
| 20-25 | 12 |
| 25-30 | 10 |
| 30-35 | 8 |
| 35-40 | 9 |
| 40-45 | 6 |
| 45-50 | 5 |
| 50-55 | 2 |
हल :
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता $(f_i)$ | मध्य बिन्दु (x) | $f \times x$ |
| 20-25 | 12 | 22.5 | 270.5 |
| 25-30 | 10 | 27.5 | 275.0 |
| 30-35 | 8 | 32.5 | 260.0 |
| 35-40 | 9 | 37.5 | 337.5 |
| 40-45 | 6 | 42.5 | 255.0 |
| 45-50 | 5 | 47.5 | 237.0 |
| 50-55 | 2 | 52.5 | 105.0 |
| योग | $\sum f=52$ | $\sum fx=1740$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}=\frac{1740}{52}=33.46$
समान्तर माध्य =33.46
प्रश्न 14.
यदि निम्न सारणी में विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 25 अंक है, तो f का मान ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 3 | f | 6 | 10 | 5 |
हल :
| प्राप्तांक | छात्रों की संख्या $(f)$ | मध्य बिन्दु (x) | $f \times x$ |
| 0-10 | 3 | 5 | 15 |
| 10-20 | f | 15 | 15f |
| 20-30 | 6 | 25 | 150 |
| 30-40 | 10 | 35 | 350 |
| 40-45 | 5 | 45 | 225 |
| $\sum = 24+f$ | $\sum f\times x=740+15f$ |
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}$
$\begin{aligned}25 &=\frac{740+15 f}{24+f} \\100+25 f &=740+15 f
\\10 f &=140 \\f &=14 .\end{aligned}$
प्रश्न 15.
निम्नलिखित बारम्बारता में माध्य 50 है। किन्दु 20-40 तथा 60-80 वर्ग अन्तरालों की बारम्बारताएँ $f_{1}$ और $f_{2}$ अज्ञात हैं। इन अज्ञात बारम्बारताओं को ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | बारम्बारता |
| 0-20 | 17 |
| 20-40 | $f_1$ |
| 40-60 | 32 |
| 60-80 | $f_2$ |
| 80-100 | 19 |
| कुल योग | 120 |
हल :
| वर्ग C.I. | मध्य बिन्दु $x_i$ | चर की बारम्बारता $f_i$ | $f_i x_i$ |
| 0-20 | 10 | 17 | 170 |
| 20-40 | 30 | $f_1$ | $30f_1$ |
| 40-60 | 50 | 32 | 1600 |
| 60-80 | 70 | $f_2$ | $70f_2$ |
| 80-100 | 90 | 19 | 1710 |
| कुल योग | $\sim f_i=68+f_1+f_2$ | $3480+30f_1+70f_2$ |
परन्तु
$\begin{array}{lr} & \Sigma f_{i}=120, \\ \therefore &
68+f_{1}+f_{2}=120\end{array}$
$f_{1}+f_{2}=120-68=52$...........(i)
$\begin{aligned} \bar{x} &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ 50
&=\frac{3480+30 f_{i}+70 f_{2}}{120} \\ 3480+30 f_{1}+70 f_{2} &=50
\times 120=6000 \\ 30 f_{1}+70 f_{2} &=6000-3480=2520 \\ 3 f_{1}+7 f_{2}
&=252 \end{aligned}$............(ii)
समीकरण" (i) के दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर
$7 f_{1}+7 f_{2}=364$......(iii)
समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर हम प्राप्त करते हैं :
$\begin{aligned}&4 f_{1}=112 \\&f_{i}=\frac{112}{4}=28\end{aligned}$
$f_{1}$ का मान समीकरण' (i) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं :
$\therefore28+f_{2}=52$
$f_{2}=52-28=24$
अतः अज्ञात बारम्बारताएँ हैं :
$f_{1}=28 \text { और } f_{2}=24 \text {. }$
प्रश्न 16.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
| पौधों की संख्या | 0-2 | 2-4 | 4-6 | 6-8 | 8-10 | 10-12 | 12-14 |
| घरों की संख्या | 1 | 2 | 1 | 5 | 6 | 2 | 3 |
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल:
| पौधंतं की संख्या | घरों की संख्या $f_i$ | मध्य-बिन्दु $(x_i)$ | $f_i \times x_i$ |
| 0-2 | 1 | 1 | 1 |
| 2-4 | 2 | 3 | 6 |
| 4-6 | 1 | 5 | 5 |
| 6-8 | 5 | 7 | 35 |
| 8-10 | 6 | 9 | 54 |
| 10-12 | 2 | 11 | 22 |
| 12-14 | 3 | 13 | 39 |
| योग | 20 | 162 |
$\Sigma f_{i}=20$ तथा $\Sigma f_{i} x_{i}=162$ हो, तब
माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{162}{20}=8.1$
हमने माध्य ज्ञात करने के लिए प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया क्योंकिंदी गई
बारम्बारताएँ $\left(f_{i}\right)$ तथा पौधों की संख्या द्वारा प्राप्तं
मध्य-बिन्दु $\left(x_{i}\right)$ न्यूनतम रूप में हैं।
उत्तर
प्रश्न 17.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेब
खर्च ₹ 18 है। लुप्त बारम्बरता f ज्ञात कीजिए।
| दैनिक जेब खर्च (रूपयो में) | 11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | 19-21 | 21-23 | 23-25 |
| बच्चों की संख्या | 7 | 6 | 9 | 13 | f | 5 | 4 |
हल :
| देनिक जेब भत्ता (रुपयों में) | बच्चों की संख्या $f_i$ | मध्य-बिन्दु $x_i$ | $f_i \times x_i$ |
| 11-13 | 7 | 12 | 84 |
| 13-15 | 6 | 14 | 84 |
| 15-17 | 9 | 16 | 144 |
| 17-19 | 13 | 18 | 234 |
| 19-21 | f | 20 | 20f |
| 21-23 | 5 | 22 | 110 |
| 23-25 | 4 | 24 | 96 |
| योग | 44+f | 752+20f |
माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$\begin{aligned}18 &=\frac{752+20 f}{44+f} \\752+20 f &=792+18 f
\\20 f-18 f &=792-752 \\2 f &=40 \\f &=20\end{aligned}$
