प्रश्नावली 12 (A)
प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी. तथा 6 सेमी. हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल :
∵ पहले वृत्त की त्रिज्या, r=8 सेमी. हो तब
∴ पहले वृत्त का क्षेत्रफल $\left(A_{1}\right)=\pi r^{2}$
$=\pi \times(8)^{2}=64 \pi$ वर्ग सेमी.
∵ और दूसरे वृत्त की त्रिज्या R=6 सेमी.
∴ दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल $\left(A_{2}\right)=\pi R^{2}$
$=\pi \times(6)^{2}=36 \pi$ वर्ग सेमी.
नए वृत्त का क्षेत्रफल = दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग(दिया है)
𝛑×त्रिज्या $^{2}$=64𝛑+36𝛑
𝛑×त्रिज्या $^{2}$=𝛑(100)
त्रिज्या $^{2}$=(100)
त्रिज्या =10
अतः नए वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी. होगी।
प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी. तथा 9 सेमी. हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल :
दिए गए पहले वृत्त की त्रिज्या, $r_{1}=19$ सेमी. हो, तब
$\therefore$ पहले वृत्त की परिधि,
$\begin{aligned}&\begin{aligned}C_{1} &=2 \pi r_{1} \\&=2 \pi \times 19\end{aligned}\end{aligned}$
=38𝛑 सेमी.
∵ और जब दूसरे वृत्त की त्रिज्या, $r_{2}=9$ सेमी. हो, तब
$\therefore$ दूसरे वृत्त की परिधि, $\mathrm{C}_{2}=2 \pi r_{2}$
$=2 \times 9 \times \pi=18 \pi$ सेमी.
बने नए वृत्त की परिधि = दोनों वृत्तों की परिधियों का योगफल (दिया है)
$\begin{aligned}2 \pi r &=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \\2 \pi r &=38 \pi+18 \pi \\2 \pi r &=\pi(38+18) \\2 r &=56 \end{aligned}$
r=28 सेमी.
अतः बने नए वृत्त की त्रिज्या 28 सेमी होगी।
प्रश्न 3.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। यदि यह कार 66 किमी प्रति घप्टे की चाल से इल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है ?
हल :
∵ कार के एक पहिए का व्यास $d_{1}=80$ सेमी.
पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी अर्थात् परिधि
=𝛑×व्यास
$=\frac{22}{7} \times 80$
$=\frac{1760}{7}$ सेमी.
∵ कार की चाल =66 किमी/घण्टा
$=\frac{66 \times 100000}{60}$ सेमी./मिनट $[\because 1$ किमी $=100000$ सेमी $]$
=110000 सेमी./मिनट
∵ कार के द्वारा 1 मिनट में तय की गयी दूरी =110000 सेमी.
∴ कार के द्वारा 10 मिनट में तय की गयी दूरी $=110000 \times 10=1100000$ सेमी.
∴ पहिए द्वारा कुल चक्करों की संख्या
= 10 मिनट में तय की गयी दूरी / पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी
$=\frac{1100000}{1760 / 7}=\frac{1100000 \times 7}{1760}$
$=\frac{7700000}{1760}=4375$
अतः 10 मिनट में प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।
प्रश्न 4.
एक वृत्ताकार खेत है। इस खेत के चारों और तार लगाना है। र 12 प्रति मीटर की दर से पूरा तार लगाने में ई 5280 की लागत आयेगी और खेत को र $0.50$ प्रति मीटर $^{2}$ की दर से जोतता है। बताइए कि खेत को जोतने मे कुल कितनी लागत आयेगी।
$\pi=\frac{22}{7} $ लीजिए
हल :
तार की लम्बाई =कुल व्यय / दर
$=\frac{5280}{12}=440$ मीटर
माना जब खेत की त्रिज्या r हो, तब तार की कुल लम्बाई अर्थात् खेत की परिधि $=2 \pi r$
$\therefore2 \pi r=440$
$r=\frac{440 \times 7}{2 \times 22}=70$ मी
इसलिए जोतने वाले खेत का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 70 \times 70 \end{aligned}$
=15400 वर्ग मी
1 वर्ग मी की जुताई पर व्यय =0.50
15400 वर्ग मीटर की जुताई पर व्यय =ई $0.50 \times 15400=$ ई 7700 .
प्रश्न 5.
एक दौड़ने का मार्ग वलयाकार है जिसकी अन्तः परिधि 440 मीटर है और बाहरी परिधि 506 मीटर है। मार्ग की चौड़ाई ज्ञात कीजिए और उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (जहाँ $\pi=\frac{22}{7}$ )
हल :
बाहरी वृत्त की परिधि, $2 \pi r_{1}=506$ मी.
$r_{1}=\frac{506}{2 \pi}$
अन्तः वृत्त की.परिधि, $2 \pi r_{2}=440$ मी.
$r_{2} =\frac{440}{2 \pi} $ वृत्ताकार मार्ग की चौड़ाई $=r_{1}-r_{2}$
$=\frac{506}{2 \pi}-\frac{440}{2 \pi}$
$\begin{aligned}&=\frac{66}{2 \pi}=\frac{66 \times 7}{2 \times 22} \\&=\frac{21}{2}\end{aligned}$
=10.5 मीटर
अब वृत्ताकार मार्ग का क्षेत्रफल $=\pi\left(\frac{506}{2 \pi}\right)^{2}-\pi\left(\frac{440}{2\pi}\right)^{2}$
$=\pi\left[\left(\frac{506}{2 \pi}+\frac{440}{2 \pi}\right)\left(\frac{506}{2 \pi}-\frac{440}{2\pi}\right)\right]$
$\begin{aligned}&=\pi \times \frac{946}{2 \pi} \times 10.5 \\&=473 \times 10.5\end{aligned}$
$=4966.5$ वर्ग मीटर।
प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार पार्क के चारों ओर एक $2.1$ मीटर चौड़ा रास्ता बना है। पार्क का अर्द्ध व्यास 14 मीटर है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
रास्ते का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\pi(14+2.1)^{2}-\pi(14)^{2} \\ &=\pi(16.1)^{2}-\pi(14)^{2} \end{aligned}$
$=\pi(16.1+14)(16.1-14)$
$=\pi \times 30.1 \times 2.1$
$=\frac{22}{7} \times 2.1 \times 30.1$
$=6.6 \times 30.1$
=198.66 वर्ग मीटर।
प्रश्न 7.
एक वृत्ताकार मार्ग की भीतरी परिधि 132 मीटर है तथा मार्ग प्रत्येक स्थान से 7 मीटर चौड़ा है। इस मार्ग को समतल करवाने का व्यय 32 पैसे प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्ताकार मार्ग की भीतरी परिधि,
$\begin{aligned}2 \pi &=132 \\r &=\frac{132 \times 7}{2 \times 22} \end{aligned}$
=21 मीटर
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल $=\pi \times(21)^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=1386 \text { वर्ग मीटर }\end{aligned}$
रास्ता सहित वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $=(21+7)$ मी $=28$ मीटर
मैदान और रास्ते दोनों का क्षेत्रफल $=\pi \times(28)^{2}$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 28 \times 28\end{aligned}$
=2464 वर्ग मीटर
मार्ग का क्षेत्रफल =(2464-1380) वर्ग मीटर =1078 वर्ग मीटर
मार्ग समतल कराने का व्यय $=$ ई $1078 \times 0.32$ $=$ Rs $344.96$
प्रश्न 8.
एक वृत्ताकार खेत की परिधि और वर्गाकार खेत की परिमाप बराबर है। यदि वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 2500 वर्ग मीटर हो, तो वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल =2500 वर्ग मी
भुजा$^{2}$=2500
भुजा $=\sqrt{2500}$=50 मीटर
दिया है ;
वृत्ताकार खेत की परिधि = खेत का परिमाप
2𝛑=4 ×भुजा=4×50
$\begin{aligned}r &=\frac{4 \times 50}{2 \pi}=\frac{100}{\pi}\end{aligned}$
वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल $=\pi(r)^{2}$
$\begin{aligned}&=\pi\left(\frac{100}{\pi}\right)^{2} \\&=\pi \times \frac{10000}{\pi^{2}}=\frac{10000 \times 7}{22} \\&=\frac{70000}{22} \end{aligned}$
$=3181 \frac{9}{11}$ वर्ग मीटर
प्रश्न 9.
दी गयी आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिहिनतहैं। जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 सेमी. चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँच क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ GOLD वाले वृत्त का व्यास =21 सेमी.
∴ GOLD वाले वृत्त की त्रिज्या $(r)=\frac{1}{2} \times 21=10.5$ सेमी.
∴ GOLD वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
$=\frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$
$=22 \times 15.75=346.5$ वर्ग सेमी.
RED वाला वृत्त,
∵ प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.
∴ RED वाले वृत्त की त्रिज्या =(10.5+10.5) सेमी =21 सेमी.
∵ RED वाला वृत्त वलय रूप में है।
∴ RED वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$,
जहौं $\mathrm{R}=$ वलय की वाहय त्रिज्या और r= आंतरिक त्रिज्या
$=\frac{22}{7} \times(21 \times 21-10.5 \times 10.5)$
$=\frac{22}{7} \times\left[(21)^{2}-(10.5)^{2}\right]$
$=\frac{22}{7} \times(441-110.25)$
$=\frac{22}{7} \times 330.75$
=1039.5 वर्ग सेमी.
BLUE वाला वृत्त,
प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.
∴ BLUE वाले वृत्त की त्रिज्या
=(21+10.5) सेमी =31.5 सेमी.
BLUE वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{22}{7}\left(\mathrm{R}^{2}-r^{2}\right)$
R=31.5 सेमी तथा r=21 सेमी
$\begin{aligned} &=\frac{22}{7}\left[(31.5)^{2}-(21)^{2}\right] \\ &=\frac{22}{7}(992.25-441) \\ &=\frac{22}{7} \times 551.25 \end{aligned}$
=1732.5 वर्ग सेमी.
BLACK वाला वृत्त,
प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.
∴ BLACK वाले वृत्त की त्रिज्या
=(31.5+10.5) सेमी.=42 सेमी.
BLACK वाले वृत्त का क्षेत्रफल
$=\pi\left(\mathrm{R}^{2}-r^{2}\right) $
R=42 सेमी और r=31.5 सेमी.
R=42 सेमी और r=31.5 सेमी.
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7}\left[(42)^{2}-(31.5)^{2}\right] \\&=\frac{22}{7}(1764-992.25) \\&=\frac{22}{7} \times 771.75\end{aligned}$
=2425.5 वर्ग सेमी.
WHITE वाला वृत्त,
∵ प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.
∴ WHITE वाले वृत्त की त्रिज्या =(42+10.5) सेमी =52.5 सेमी.
∴ WHITE वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$
R=52.5 सेमी तथा r=42 सेमी
$\begin{aligned}&\doteq \frac{22}{7}\left[(52.5)^{2}-(42)^{2}\right] \\&=\frac{22}{7}(2756.25-1764) \\&=\frac{22}{7} \times 992.25\end{aligned}$
=3118.5 वर्ग सेमी.
प्रश्न 10.
एक मोटर साइकिल के पहिए की त्रिज्या 35 सेमी है। यदि मोटर साइकिल की चाल 66 किमी/घंटा हो, तो पहिया एक मिनट में कितने चक्कर लगाएगा?
हल :
दिया है, , पहिया की त्रिज्या, $r=35$ सेमी
$\therefore$ पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी = पहिए की परिधि $=2 \pi r$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 35=220$ सेमी
परन्तु मोटर साइकिल के पहिए की चाल $=66$ किमी/घंटा
$=\frac{66 \times 1000}{60}=1100 $ मी/मिनट
=1100 ×100 सेमी / मिनट =110000 सेमी / मिनट
∵ पहिए द्वारा 1 मिनट में चली दूरी =110000 सेमी
$\therefore \quad$ प्रति मिनट चक्करों की संख्या $=\frac{110000}{220}=500$ चक्कर। उत्तर
प्रश्न 11.
एक ट्रैक्टर के अगले और पिछ्ले पहियों के व्यास क्रमशः 80 सेमी और 2 मी हैं। ज्ञात कीजिए कि पिछ्ले पहिए द्वारा उतनी दूरी तय करने में कितने चक्कर लगाने होंगे, जितनी दूरी अगला पहिया 1400 चक्कर लगाने में तय करता है?
हल :
माना ट्रैक्टर के अगले पहिए का व्यास, $d_{1}=80$ सेमी
त्रिज्या, $r_{1}=40$ सेमी
पिछले पहिए का व्यास, $d_{2}=2$ मी $=200$ सेमी
त्रिज़्या, $r_{2}=\frac{200}{2}=100$ सेमी
अलगे पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी $=$ अगले पहिए की परिधि
$\begin{aligned}&=2 \pi r_{1} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 40=\frac{1760}{7} \end{aligned}$
$\therefore$ अगले पहिए द्वारा 1400 चक्करों में तय की दूरी $=1400 \times \frac{1760}{7}$
=352000 सेमी
अब, पिछले पहिए की परिधि $=2 \pi r_{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 100=\frac{4400}{7}$ सेमी
∴ पिछ्छले पहिए के चक्करों की संख्या $=\frac{352000 \times 7}{4400}=560$ चक्कर।
उत्तर
प्रश्न 12.
उस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रफल 20 सेमी और 48 सेमी व्यास वाले दो वृतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल : यहाँ पहले वृत्त की त्रिज्या $r_{1}=\frac{20}{2}$ सेमी $=10$ सेमी
तथा दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r_{2}=\frac{48}{2}$ सेमी $=24$ सेमी
अतः इनके क्षेत्रफलों का योग $=\pi r_{1}{ }^{2}+\pi r_{2}{ }^{2}=\pi(10)^{2}+\pi(24)^{2}=\pi \times 676$..........(i)
मान लीजिए नये वृत्त की त्रिज्या $r$ सेमी है। अतः इसका क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$...(ii)
समीकरण' (i) और (ii) से,
$\begin{aligned}\pi r^{2} &=\pi \times 676 \\r^{2} &=676 \\r &=26\end{aligned}$
नये वृत्त की त्रिज्या $=26$ सेमी
नये वृत्त का व्यास $=2 \times 26$ सेमी $=52$ सेमी।
