प्रश्नावली 8 C
प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय सारणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित कीजिए :
हल :
sin 25° cos 65°
sin 25° cos 65°=sin 25° cos (90°-25°)
$\begin{aligned} &=& \sin 25^{\circ} \sin 25^{\circ} & &\left[\because \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right] \\ &=& \sin ^{2} 25^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 2.
त्रिकोणमितीय सारणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित कीजिए :
$\sec 70^{\circ} \sin 20^{\circ}-\cos 20^{\circ} \operatorname{cosec} 70^{\circ}$
हल :
$\sec 70^{\circ} \sin 20^{\circ}-\cos 20^{\circ} \operatorname{cosec} 70^{\circ}$
$=\frac{\sin 20^{\circ} \quad \cos 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \sin 70^{\circ}}$
$=\frac{\sin \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)}{\cos 70^{\circ}}-\frac{\cos \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)}{\sin 70^{\circ}}$
$=\frac{\cos 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}-\frac{\sin 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$
=1-1=0
प्रश्न 3.
त्रिकोणमितीय सारणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित' कीजिए :
$\tan 20^{\circ} \cot 70^{\circ}-\sec 20^{\circ} \operatorname{cosec} 70^{\circ}$
हल :
$\tan 20^{\circ} \cot 70^{\circ}-\sec 20^{\circ} \operatorname{cosec} 70^{\circ}$
$=\frac{\tan 20^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} \quad \frac{1}{\cos 20^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ}}$
$=\frac{\tan 20^{\circ}}{\tan \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right) \cos 20^{\circ} \sin \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}$
$=\frac{\tan 20^{\circ}}{\cot 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}}$
$=\tan ^{2} 20^{\circ}-\frac{1}{\cos ^{2} 20^{\circ}}$
$=\frac{\sin ^{2} 20^{\circ}}{\cos ^{2} 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos ^{2} 20^{\circ}}$
$=\frac{\sin ^{2} 20^{\circ}-1}{\cos ^{2} 20^{\circ}}$
$=-\frac{\left(1-\sin ^{2} 20^{\circ}\right)}{\cos ^{2} 20^{\circ}}$
$=-\frac{\cos ^{2} 20^{\circ}}{\cos ^{2} 20^{\circ}}=-1$
प्रश्न 4.
त्रिकोणमितीय संरणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित' का मान निर्धारित कीजिए : $\frac{\sec 70^{\circ}}{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}+\frac{\sin 59^{\circ}}{\cos 31^{\circ}}$
हल : $\frac{\sec 70^{\circ}}{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}+\frac{\sin 59^{\circ}}{\cos 31^{\circ}}=\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}+\frac{\sin 59^{\circ}}{\cos 31^{\circ}}$
$\begin{aligned}&=\frac{\sin \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)}{\cos 70^{\circ}}+\frac{\sin\left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)}{\cos 31^{\circ}} \\&=\frac{\cos 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}+\frac{\cos 31^{\circ}}{\cos 31^{\circ}} \\&=1+1=2\end{aligned}$
उत्तर
प्रश्न 5.
त्रिकोणमितीय सTरणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित कीजिए : $\sin ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 55^{\circ}$
हल :
$\begin{array}{rlr}\sin ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 55^{\circ} & =\sin ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-35^{\circ}\right) & \\ & =\sin ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 35^{\circ}, & {\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\right]} \\ & =1 . & \text { उत्तर }\end{array}$
प्रश्न 6.
त्रिकोणमितीय सारणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित कीजिए :
$\begin{aligned}&\frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}\end{aligned}$
हल :
$\begin{aligned} &=\frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin31^{\circ}}&=\frac{\cos \left(90^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\sin 10^{\circ}}+\frac{\cos\left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)}{\sin 31^{\circ}} \\&=\frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}+\frac{\sin 31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}} \\&=1+1=2 .\end{aligned}$
प्रश्न 7.
$\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$
$\sin 18^{\circ}=\sin \left(90^{\circ}-72^{\circ}\right)$
$\sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}$
$\left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right]$
$\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=1$
प्रश्न 8.
त्रिकोणमितीय सारणियों के प्रयोग बिना निम्नलिखित का मान निर्धारित कीजिए : $\frac{\operatorname{cosec} 39^{\circ}}{\sec 51^{\circ}}$.
हल :
$\begin{aligned} \frac{\operatorname{cosec} 39^{\circ}}{\sec 51^{\circ}} &=\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-51^{\circ}\right)}{\sec 51^{\circ}} \\ &=\frac{\sec 51^{\circ}}{\sec 51^{\circ}} \\ &=1 . \end{aligned}$
प्रश्न 9.
दिखाइए कि :
(i) $\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=1$
(ii) $\cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}=0$.
हल : बायों पक्ष
$=\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$=\tan \left(90-42^{\circ}\right) \tan \left(90^{\circ}-67^{\circ}\right) \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$=\cot 42^{\circ} \cot 67^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$\left[\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta\right]$
$=\frac{1}{\tan 42^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 67^{\circ}} \cdot \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$\left[\because \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\right]$
$=\frac{\tan 42^{\circ} \cdot \tan 67^{\circ}}{\tan 42^{\circ} \cdot \tan 67^{\circ}}$
$=1=$ दायाँ पक्ष।
(ii)
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned} &=\cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ &=\cos \left(90^{\circ}-52^{\circ}\right) \cos \left(90^{\circ}-38^{\circ}\right)-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ &=\sin 52^{\circ} \sin 38^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ &=\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \end{aligned}$
=0=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 10.
यदि $\tan 2 \mathrm{~A}=\cot \left(\mathrm{A}-18^{\circ}\right)$, जहाँ $2 \mathrm{~A}$ एक न्यून कोण है, तो $\mathrm{A}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है : $\tan 2 \mathrm{~A}=\cot \left(\mathrm{A}-18^{\circ}\right)$
$\left[\because \cot \left(90^{\circ}-2 \mathrm{~A}\right)=\tan 2 \mathrm{~A}\right]$
$\begin{aligned} 90^{\circ}-2 A &=A-18^{\circ} \\-2 A-A &=-18^{\circ}-90^{\circ} \\-3 A &=-108^{\circ} \\ A &=\frac{108^{\circ}}{3}=36^{\circ} \\ A &=36^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 11.
$\cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ}$ को $0^{\circ}$ और $30^{\circ}$ के बीच के कोणों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
$\cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ}=\cos \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)+\cot \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)$
$=\sin 15^{\circ}+\tan 15^{\circ} \text {. }$
प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि :
$\frac{\cos 35^{\circ}}{\sin 55^{\circ}}+\frac{\sin 11^{\circ}}{\cos 79^{\circ}}-\cos 28^{\circ} \operatorname{cosec} 62^{\circ}=1$
हल :
बायाँ पक्ष $=\frac{\cos 35^{\circ}}{\sin 55^{\circ}}+\frac{\sin 11^{\circ}}{\cos 79^{\circ}}-\cos 28^{\circ} \operatorname{cosec} 62^{\circ}$
$=\frac{\cos \left(90^{\circ}-55^{\circ}\right)}{\sin 55^{\circ}}+\frac{\sin \left(90^{\circ}-79^{\circ}\right)}{\cos 79^{\circ}}-\cos 28^{\circ} \frac{1}{\sin \left(90^{\circ}-28^{\circ}\right)}$
$=\frac{\sin 55^{\circ}}{\sin 55^{\circ}}+\frac{\cos 79^{\circ}}{\cos 79^{\circ}}-\frac{\cos 28^{\circ}}{\cos 28^{\circ}}$ $=1+1-1=1$ $=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
$\frac{\sin 36^{\circ}+\cos 36^{\circ}}{\cos 54^{\circ}+\sin 54^{\circ}}=1$
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned} &=\frac{\sin 36^{\circ}+\cos 36^{\circ}}{\cos 54^{\circ}+\sin 54^{\circ}} \\ &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-54^{\circ}\right)+\cos \left(90^{\circ}-54^{\circ}\right)}{\cos 54^{\circ}+\sin 54^{\circ}} \\ &=\frac{\cos 54^{\circ}+\sin 54^{\circ}}{\cos 54^{\circ}+\sin 54^{\circ}} \end{aligned}$
=1=दायोँ पक्ष।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि : $\frac{\sin 48^{\circ}}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\cos 48^{\circ}}{\sin 42^{\circ}}=2$.
हल :
बायौं पक्ष
$\begin{aligned} &=\frac{\sin 48^{\circ}}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\cos 48^{\circ}}{\sin 42^{\circ}} \\ &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-42^{\circ}\right)}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\cos \left(90^{\circ}-42^{\circ}\right)}{\sin 42^{\circ}} \\ &=\frac{\cos 42^{\circ}}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\sin 42^{\circ}}{\sin 42^{\circ}} \\ &=1+1=2 \end{aligned}$
दायाँ पक्ष।
प्रश्न 15.
निम्नलिखित को सारणियों के प्रयोग के बिना हल कीजिए :
(i) $\frac{2 \sin 81^{\circ} \tan 40^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} \quad \cot 50^{\circ}$
(ii) $\cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ}$
हल :
(i) $\frac{2 \sin \left(90^{\circ}-9^{\circ}\right)}{\cos 9^{\circ}} \quad \frac{\tan \left(90^{\circ}-50^{\circ}\right)}{\cot 50^{\circ}}$
$\begin{aligned}&=2 \frac{\cos 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}-\frac{\cot 50^{\circ}}{\cot 50^{\circ}} \\&=2-1 \\&=1 .\end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned}\sin 42^{\circ} &=\sin \left(90^{\circ}-48^{\circ}\right) \\\sin 42^{\circ} &=\cos 48^{\circ} \\\cos 48^{\circ} &-\sin 42^{\circ} \\&=\cos 48^{\circ}-\cos 48^{\circ} \\&=0\end{aligned}$
$\left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right]$ उत्तर
प्रश्न 16.
$\sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}$ को $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
ज्ञात है : $\sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}$
$=\sin \left(90^{\circ}-23^{\circ}\right)+\cos \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)$
$=\cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ}$
$\quad\left[\because \sin (90-\theta)=\cos \theta\right.$ और $\left.\cos (90-\theta)=\sin ^{\prime} \theta\right]$
$\because 23^{\circ}$. तथा $15^{\circ}$ दोनों ही कोण $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के है।
प्रश्न 17.
निम्नलिखित की सारणियों के प्रयोग के बिना हल कीजिए : $\frac{5 \sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+\frac{2 \cos 31^{\circ}}{\sin 59^{\circ}}-\frac{6 \sin 80^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}$
हल :
$\frac{5 \sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+\frac{2 \cos 31^{\circ}}{\sin 59^{\circ}}\frac{6 \sin 80^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}$
$\begin{aligned}&=\frac{5 \sin \left(90^{\circ}-73^{\circ}\right)}{\cos 73^{\circ}}+\frac{2 \cos\left(90^{\circ}-59^{\circ}\right)}{\sin 59^{\circ}}-\frac{6 \sin \left(90^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\cos10^{\circ}} \\&=\frac{5 \cos 73^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+\frac{2 \sin 59^{\circ}}{\sin 59^{\circ}}-\frac{6 \cos10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}} \\&=5+2-6\end{aligned}$
=1 उत्तर
प्रश्न 18.
निम्नलिखित' के मान निकालिए-
(i) $\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}$
(ii) $\operatorname{cosec} 31^{\circ}-\sec 59^{\circ}$
(iii) $\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
(iv) $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}$
हल :
(i) $\because\tan 26^{\circ}=\tan \left(90^{\circ}-64^{\circ}\right)$
या $\tan 26^{\circ}=\cot 64^{\circ}$ $\left[\because \tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta\right]$
$\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=1$
(ii) $\operatorname{cosec} 31^{\circ}=\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-59^{\circ}\right)$
$\operatorname{cosec} 31^{\circ}=\sec 59^{\circ}$ $\left[\because \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)=\sec \theta\right]$
अतः
$\begin{aligned}\operatorname{cosec} 31^{\circ}-\sec 59^{\circ} &=\sec 59^{\circ}-\sec 59^{\circ} \\&=0\end{aligned}$
(iii) ज्ञात है : $\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
$=\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\left[\sin \left(90^{\circ}-63^{\circ}\right)\right]^{2}}{\left[\cos \left(90^{\circ}-73^{\circ}\right)\right]^{2}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
$=\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\left(\cos 63^{\circ}\right)^{2}}{\left(\sin 73^{\circ}\right)^{2}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
$\left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right.$ तथा $\left.\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right]$
$=\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos ^{2} 63^{\circ}}{\sin ^{2} 73^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
$\because$ सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ के प्रयोग से
$\begin{aligned}&=\frac{1}{1} \\& \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos ^{2} 63^{\circ}}{\sin ^{2} 73^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}=1 .\end{aligned}$
(iv) ज्ञात है : $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}$
$=\sin \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right) \cdot \cos 65^{\circ}+\cos \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right) \cdot \sin 65^{\circ}$
$=\cos 65^{\circ} \cdot \cos 65^{\circ}+\sin 65^{\circ} \cdot \sin 65^{\circ}$
$\quad\left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right.$ तथा $\left.\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right]$
$=\cos ^{2} 65^{\circ}+\sin ^{2} 65^{\circ}$ या $\sin ^{2} 65^{\circ}+\cos ^{2} 65^{\circ}$
$=1$
$\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}=1$
प्रश्न 19.
यदि $\tan \mathrm{A}=\cot \mathrm{B}$, तो सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}$.
हल :
ज्ञात है : $\tan A=\cot B$
$\begin{aligned} \cot \mathrm{B} &=\tan \left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right) \\ \tan \mathrm{A} &=\tan \left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right) \\ \mathrm{A} &=90^{\circ}-\mathrm{B} \\ \mathrm{A}+\mathrm{B} &=90^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 20.
यदि $\sec 4 \mathrm{~A}=\operatorname{cosec}\left(\mathrm{A}-20^{\circ}\right)$, जहाँ $4 \mathrm{~A}$ एक न्यून कोण है, तो $\mathrm{A}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है$\sec 4 \mathrm{~A}=\operatorname{cosec}\left(\mathrm{A}-20^{\circ}\right)$
$\begin{aligned} \sec 4 \mathrm{~A} &=\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-4 \mathrm{~A}\right) \\ \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-4 \mathrm{~A}\right) &=\operatorname{cosec}\left(\mathrm{A}-20^{\circ}\right) \\ 90^{\circ}-4 \mathrm{~A} &=\mathrm{A}-20^{\circ} \\-4 \mathrm{~A}-\mathrm{A} &=-90^{\circ}-20^{\circ} \\-5 \mathrm{~A} &=-110^{\circ} \\ \mathrm{A} &=22^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 21.
यदि $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ तथा $\mathrm{C}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के अन्तः कोण हों, तो दिखाइए कि $\sin \left(\frac{\mathrm{B}}{2}+\mathrm{C}\right)=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}$.
हल :
ज्ञात है : $\triangle \mathrm{ABC}$ के अन्तः कोण क्रमशः $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ तथा $\mathrm{C}$ हैं।
$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$(त्रिभुज के अन्तः कोणों के योग के गुण से)
$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}-\angle \mathrm{A}$
$\frac{\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}}{2}=\frac{180^{\circ}-\angle \mathrm{A}}{2}$
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,
$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}-\frac{\angle A}{2}\right)$
$\sin \left(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\right)=\cos \frac{\mathrm{A}}{2}$
