प्रश्नावली 3 (F)
Question 1
निमलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
3x+y=19,4 x-3 y=8
Sol :
3x+y=19...(i)
4x-3y=8...(ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) के साथ जोड़ने पर
13x=65
x=5
समीकरण (i) में x=5 रखने पर,
3×5+y=19
15+y=19
y=19-15=4
x=5 , y=4
Question 2
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
6x+3y=6xy , 2x+4y=5xy
Sol :
दिए गए समीकरण हैं :
6x+3y=6xy
xy का दोनों पक्षों में भाग करने पर,
$\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}=\frac{6 x y}{x y}$
$\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=6$...(i)
2x+4y=5xy (दिया है)
x y का दोनों पकों में भाग करने पर,
$\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}=\frac{5 x y}{x y}$
$\frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5$...(ii)
समीकरण (i) में 4 का गुणा तथा (ii) में 3 का गुंणा करके घटाने पर,
$\begin{aligned}\frac{24}{y}+\frac{12}{x}&=24 \\\frac{6}{y}+\frac{12}{x}&=15 \\(-)(-)&~\!(-) \\ \hline \frac{18}{y}&=9\end{aligned}$
9y=18
y=2
y का मान समीकरण (i) मे रखने पर ,
$\frac{6}{2}+\frac{3}{x}=6$
$3+\frac{3}{x}=6$
$\frac{3}{x}=3$
3x=3
x=1
अत: x=1 तथा y=2
Question 3
निम्नलिखित समीकरणें को हल कीजिए :
(a+b) x+(a-b) y=2ab
(a+b) x-(a-b) y=ab
Sol :
(a+b) x+(a-b) y=2ab...(i)
(a+b) x-(a-b) y=ab...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
2(a+b)x=3ab
$x=\frac{3 a b}{2(a+b)}$
समीकरण (i) में x का मान रखने पर
$(a+b) \times \frac{3 a b}{2(a+b)}+(a-b) y=2 a b$
$\frac{3 a b}{2}+(a-b) y=2 a b$
$(a-b) y=2 a b-\frac{3 a b}{2}=\frac{a b}{2}$
$y=\frac{a b}{2(a-b)}$
$x=\frac{3 a b}{2(a+b)}, y=\frac{a b}{2(a-b)}$
Question 4
निमलिखित समीकरणें को हल कीजिए :
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}, a x+b y=a^{2}+b^{2} .$
Sol :
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$
$x=\frac{a}{b} y$...(i)
$a x+b y=a^{2}+b^{2}$...(ii)
समीकरण (ii) में x का मान रखने पर,
$a \times \frac{a}{b} y+b y=a^{2}+b^{2}$
$\frac{a^{2} y+b^{2} y}{b}=a^{2}+b^{2}$
$\left(a^{2}+b^{2}\right) \frac{y}{b}=a^{2}+b^{2}$
y=b
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
$x=\frac{a}{b} \times b=a$
x=a, y=b
Question 5
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
px+qy=p-q
qx-py=p+q
Sol :
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म :
px+qy=p-q
px+qy-(p-q)=0...(i)
qx-py=p+q
qx-py-(p+q)=0...(ii)
वज्रगुणन विधि से :
$\frac{x}{q \times-(p+q)-(-p) \times-(p-q)}=\frac{y}{q \times-(p-q)-p \times-(p+q)}=\frac{1}{p \times-p-q \times q}$
$\frac{x}{-p q-q^{2}-p^{2}+p q}=\frac{y}{-p q+q^{2}+p^{2}+p q}=\frac{1}{-p^{2}-q^{2}}$
$\frac{x}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}=\frac{y}{p^{2}+q^{2}}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$
$\frac{x}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$
$x=\frac{p^{2}+q^{2}}{p^{2}+q^{2}}$
∴x=1
$\frac{y}{p^{2}+q^{2}}=\frac{1}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$
$y=\frac{p^{2}+q^{2}}{-\left(p^{2}+q^{2}\right)}$
∴y=-1
अतः x=1 तथा y=-1 समीकरणों के हल होंगे।
Question 6
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b, \frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$
Sol :
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b$...(i)
$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$...(ii)
समीकरण (i) के हर को a से गुणा करने पर,
$\frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{a b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$...(iii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (iii) को घटाने पर
$y\left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a b}\right)=1-\frac{b}{a}$
$y \frac{(a-b)}{a b^{2}}=\frac{a-b}{a}$
$y=\frac{a b^{2}(a-b)}{a(a-b)}$
$y=b^{2}$
समीकरण (ii) मे,
$\frac{x}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}=2$
$\frac{x}{a^{2}}+1=2$
$\frac{x}{a^{2}}=2-1=1$
$x=a^{2}$
$x=a^{2}, y=b^{2}$
Question 7
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
ax+by=c
bx+ay=1+c
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरण युग्म :
ax+by=c
ax+by-c=0...(i)
bx+ay=1+c
bx+ay-(1+c)=0...(ii)
वज्रगुणन विधि से :
$\frac{x}{b x-(1+c)-a x-c}=\frac{y}{b x-c-a x-(1+c)}=\frac{1}{a \times a-b \times b}$
$\frac{x}{-b-b c+a c}=\frac{y}{-b c+a+a c}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$
$\frac{x}{a c-b c-b}=\frac{y}{a c-b c+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$
$\frac{x}{c(a-b)-b}=\frac{y}{c(a-b)+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$
$\frac{x}{c(a-b)-b}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$
∴$x=\frac{c(a-b)-b}{a^{2}-b^{2}}$
और $\frac{y}{c(a-b)+a}=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$
∴$y=\frac{c(a-b)+a}{a^{2}-b^{2}}$
अतः समीकरणों के हल होंगे :
$x=\frac{c(a-b)-b}{a^{2}-b^{2}}$ तथा $y=\frac{c(a-b)+a}{a^{2}-b^{2}}$.
Question 8
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
$\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}=2, \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$
Sol :
$\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}=2$
$\frac{2 b x+a y}{a b}=2$
2bx+ay=2ab...(i)
$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=4$
$\frac{b x-a y}{a b}=4$
bx-ay=4ab...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
3bx=6ab
x=2a
समीकरण (ii) में x=2a रखने पर
b×2a-ay=4ab
ay=-2ab
y=-2b
x=2a , y=-2b
Question 9
निम्नलिखित समीकरणो को हल कीजिए :
$\frac{1}{5 x}+\frac{1}{6 y}=12, \frac{1}{3 x}-\frac{3}{7 y}=8$
Sol :
$\frac{1}{5 x}+\frac{1}{6 y}=12$...(i)
$\frac{1}{3 x}-\frac{3}{7 y}=8$...(ii)
समीकरण (i) में हर को 3 से तथा' समीकरण (ii) में हर को 5 से गुणा करने पर
$\frac{1}{15 x}+\frac{1}{18 y}=4$...(iii)
$\frac{1}{15 x}+\frac{3}{35 y}=\frac{8}{5}$...(iv)
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर
$\frac{1}{18 y}+\frac{3}{35 y}=4-\frac{8}{5}$
$\frac{35+54}{18 \times 35 y}=\frac{20-8}{5}$
$\frac{89}{18 \times 35 y}=\frac{12}{5}$
$y=\frac{5 \times 89}{12 \times 18 \times 35}=\frac{89}{1512}$
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
$\frac{1}{5 x}+\frac{1512}{6 \times 89}=12$
$\frac{1}{5 x}=12-\frac{1512}{6 \times 89}$
$=\frac{12 \times 6 \times 89-1512}{6 \times 89}$
$\frac{1}{5 x}=\frac{4896}{6 \times 89}$
$x=\frac{6 \times 89}{5 \times 4896}=\frac{89}{5 \times 816}=\frac{89}{4080}$
$x=\frac{89}{4080}, y=\frac{89}{1512}$
Question 10
निम्नलिखित समीकरणों के युगमों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}, \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}$
Sol :
दिए गए समीकरण है :
$\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}$...(i)
$\frac{1}{2(3 x+y)} \frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}$...(ii)
समीकरण (ii) में 2 का गुणा करने पर,
$\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=-\frac{1}{4}$...(iii)
समीकरण (i) तथा (iii) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}&=\frac{3}{4} \\\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}&=-\frac{1}{4} \\ \hline \frac{2}{3 x+y}&=\frac{2}{4}\end{aligned}$
$\frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4}$
3x+y=4...(iv)
(3 x+y) का मान समीकरण (i) में रखने पर,
$\frac{1}{4}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}$
$\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3 x-y}=\frac{2}{4}$
$\frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}$
3x-y=2...(v)
समीकरण (iv) तथा (v) को जोड़ने पर,
6x=6
∴x=1
x का मान समीकरण (iv) में रखने पर,
3×1+y=4
3+y=4
∴y=4-3=1
अतः x=1 तथा y=1 समीकरणो के हल होंगे।
Question 11
निम्नलिखित समीकरणीं को हल कीजिए :
$\frac{5}{x+1}-\frac{2}{y-1}=\frac{1}{2}, \frac{2}{y-1}+\frac{10}{x+1}=2 \frac{1}{2}$
Sol :
माना x+1=u तथा y-1=v, तब
$\frac{5}{u}-\frac{2}{v}=\frac{1}{2}$...(i)
$\frac{2}{v}+\frac{10}{u}=\frac{5}{2}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
$\frac{15}{u}=3$
u=5
समीकरण (i) में u=5 रखने पर
$\frac{5}{5}-\frac{2}{v}=\frac{1}{2}$
$\frac{2}{v}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
v=4
x+1=u=5
x=4
y-1=v=4
y=5
अतः x=4 , y=5
Question 12
निम्नलिखित समीकरणो को हल कीजिए :
$\frac{40}{x+y}+\frac{2}{x-y}=5, \frac{25}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1$
Sol :
माना x+y=u तथा x-y=v, तब
$\frac{40}{u}+\frac{2}{v}=5$...(i)
$\frac{25}{u}-\frac{3}{v}=1$...(ii)
समीकरण (i) में 3 से तथा समीकरण (ii) में 2 से गुणा करने पर
$\frac{120}{u}+\frac{6}{v}=15$...(iii)
$\frac{50}{u}-\frac{6}{v}=2$...(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर
$\frac{170}{u}=17$
u=10
समीकरण (1) में u=10 रखने पर,
$\frac{40}{10}+\frac{2}{v}=5$
$\frac{2}{v}=5-4=1$
या v=2
अब x+y=u=10
x-y=v=2
जोड़ने पर, 2x=12
या x=6
6+y=10
या y=4
अतः x=6 , y=4
Question 13
निम्नलिखित समीकरणें को हल कीजिए :
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2, a x-b y=a^{2}-b^{2}$
Sol :
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$
$\frac{b x+a y}{a b}=2$
bx+ay=2ab...(i)
$a x-b y=a^{2}-b^{2}$...(ii)
समीकरण (i) को a से तथा समीकरण (ii) को b से गुणा करने पर
$a b x+a^{2} y=2 a^{2} b$...(i)
$a b x-b^{2} y=a^{2} b-b^{3}$...(iv)
समीकरण (iii).में से समीकरण (iv) को घटाने पर
$y\left(a^{2}+b^{2}\right)=a^{2} b+b^{3}$
$=b\left(a^{2}+b^{2}\right)$
या y=b
समीकरण (i) में y=b रखने पर
bx+ab=2ab
या bx=ab
या x=a
अतः x=a ,y=b
Question 14
निम्नलिखित समीकरणो के युग्मो को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए :
$\frac{4}{x}+3 y=14, \frac{3}{x}-4 y=23$
Sol :
दिए गए समीकरण हैं :
$\frac{4}{x}+3 y=14$...(i)
तथा $\frac{3}{x}-4 y=23$...(ii)
समीकरण (i) में 4 का गुणा तथा समीकरण (ii) में 3 का गुणा करने पर,
$\frac{16}{x}+12 y=56$..(iii)
$\frac{9}{x}-12 y=69$...(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,
$\frac{25}{x}=125$
125x=25
∴$x=\frac{25}{125}=\frac{1}{5}$
अब x का मान समीकरण (i) में रखने पर
$\frac{4}{1 / 5}+3 y=14$
20+3y=214
3y=14-20
$y=\frac{-6}{3}$
∴y=-2
अत: $x=\frac{1}{5}$ तथा $y=-2 .$
Question 15
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए
-152x-378y=-74
-378 x+152 y=-604
Sol :
दिए गए रेखिक समीकरण युग्म हैं :
-152x-378y=-74...(i)
-378 x+152 y=-604...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
-226 x-226 y=-678
-226(x+y)=-678
x+y=3...(iii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
530x-530y=530
530(x-y)=530
x-y=1...(iv)
समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,
2x=4
∴x=2
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
2+y=3
∴y=3-2=1
अत : x=2, तथा y=1 समीकरणें के हल हेंगें।
