प्रश्नावली - 7 (D)
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(0,1)(1,2)$ और $(-2,-1)$ सरेख हैं।
हल :
यदि बिन्दु सरेख हैं तब इन बिन्दुओं से बना त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
$\begin{aligned}\Delta &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[0(2+1)+1(-1-1)-2(1-2)] \\&=\frac{1}{2}[0-2+2]=0\end{aligned}$
अतः दिये गये बिन्दु संरेख होंगे।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित तीन बिन्दु सरेख हैं :
(i) $(6,9),(0,1),(-6,-7)$
(ii) $(-5,1),(5,5)$ और $(10,7)$
(iii) $(1,2),(2,3),(3,4)$
हल :
(i) माना तीन बिन्दुओं के निर्देशांक
$\begin{aligned}&x_{1}=6, x_{2}=0, x_{3}=-6 \\&y_{1}=9, y_{2}=1, y_{3}=-7\end{aligned}$
दिये हुये तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
दिये हुये तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[6(1+7)+0(-7-9)-6(9-1)] \\&=\frac{1}{2}[6 \times 8+0-6 \times 8] \\&=\frac{1}{2}[48-48]=0\end{aligned}$
अतः दिये हुये तीन बिन्दु सरेख हैं।
(ii) माना
$\begin{aligned}&x_{1}=-5, x_{2}=5, x_{3}=10 \\&y_{1}=1, y_{2}=5, y_{3}=7\end{aligned}$
दिये हुए तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[-5(5-7)+5(7-1)+10(1-5)] \\&=\frac{1}{2}[-5 \times(-2)+5 \times 6+10 \times(-4)] \\&=\frac{1}{2}[10+30-40] \\&=\frac{1}{2}[40-40]=0\end{aligned}$
अतः दिये हुए तीन बिन्दु सरेख हैं।
(iii) माना तीन बिन्दु जिनके निर्देशांक
$\begin{aligned}&x_{1}=1, y_{1}=2 \\&x_{2}=2, y_{2}=3 \\&x_{3}=3, y_{3}=4\end{aligned}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
$\begin{aligned}=& \frac{1}{2}[1(3-4)+2(4-2)+3(2-3)] \\=& \frac{1}{2}[-1+4-3] \\=& \frac{1}{2}[-4+4] \\=& \frac{1}{2} \times 0=0 \end{aligned}$
$\because$ त्रिभुज के क्षेत्रफल का मान शून्य है।
अतः तीनों बिन्दु सरेख हैं।
प्रश्न 3.
$x$ के किस मान के लिए बिन्दु $(-3,12),(7,6)$ तथा $(x, 9)$ सरेख हैं।
हल :
यदि बिन्दु सरेख हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $=0$
$\begin{aligned}\frac{1}{2}[-3(6-9)+7(9-12)+x(12-6)] &=0 \\ \frac{1}{2}[-3 \times(-3)+7 \times(-3)+x \times 6] &=0 \\ 9-21+6 x &=0 \\ 6 x &=21-9=12 \\ x &=\frac{12}{6}=2 .\end{aligned} $
प्रश्न 4.
यदि बिन्दु $(-1,3),(4,-2)$ तथा $(a, b)$ सरेख हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a+b=2$. हल : बिन्दुओं के संरेख होने के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा,
$x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$
माना
$\begin{aligned}&x_{1}=-1, y_{1}=3 \\&x_{2}=4, y_{2}=-2 \\&x_{3}=a, y_{3}=b\end{aligned}$
$-1(-2-b)+4(b-3)+a(3+2)=0$
$2+b+4 b-12+5 a=0$
$5 a+5 b-10=0$
$a+b=2$
प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ' $k$ ' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरिखी हों :
(i) $(7,-2),(5,1),(3, k)$
(ii) $(8,1),(k,-4),(2,-5)$
हल :
(i) हम जानते हैं कि तीन बिन्दु संरेखी होंगे, जब उनसे बना $\Delta$ का क्षेत्रफल शून्य होगा। माना $\mathrm{A}(7,-2), \mathrm{B}(5,1)$ और $\mathrm{C}(3, k)$ है
$\therefore \mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ सरेखी होंगे यदि क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=0$
$\begin{aligned} 7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1) &=0 \\ 7-7 k+5 k+10-9 &=0 \\ 17-9+5 k-7 k &=0 \\ 8-2 k &=0 \\ 2 k &=8 \\ k &=\frac{8}{2}=4 . \end{aligned}$
(ii) माना $\mathrm{A}(8,1), \mathrm{B}(k,-4)$ और $\mathrm{C}(2,-5)$ एक $\Delta$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं। $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ सरेखी होंगे, यदि क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=0$
$\begin{aligned} 8(-4+5)+k(-5-1)+2[1-(-4)] &=0 \\ 8(1)+k(-6)+2(5) &=0 \\ 8+(-6 k)+10 &=0 \\-6 k+18 &=0 \\ k &=\frac{-18}{-6}=3 \end{aligned}$
इस प्रकार, $k=3$.
प्रश्न 6.
$x$ और $y$ में एक संबंध स्थापित कीजिए, यदि बिंदु $(x, y),(1,2)$ और $(7,0)$ सरेखी हैं।
हल :
माना $\mathrm{A}(x, y), \mathrm{B}(1,2)$ और $\mathrm{C}(7,0)$ बिन्दु हैं, जो संरेखी हैं, तब
$x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)=0$
$2 x-y+7 y-14=0$
$2 x+6 y-14=0$
$x+3 y-7=0$
जो कि $x$ और $y$ के बीच अभीष्ट संबंध दर्शाता है।
प्रश्न 7.
$m$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $(5,1),(-2,-3)$ और $(8,2 m)$ संरेख हैं।
हल :
माना $\mathrm{A}(5,1), \mathrm{B}(-2,-3)$ और $\mathrm{C}(8,2 m)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हों, जब कि
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=0$
$\begin{aligned} \frac{1}{2}[5(-3-2 m)+(-2)(2 m-1)+8(1+3)] &=0 \\ \frac{1}{2}[-15-10 m-4 m+2+32] &=0 \\ \frac{1}{2}(-14 m+19) &=0 \\-14 m+19 &=0 \\ m &=\frac{19}{14} \end{aligned}$
प्रश्न 8
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $\mathrm{A}(-6,10), \mathrm{B}(-4,6)$ और $\mathrm{C}(3,-8)$ इस प्रकार सरेख हैं कि $\mathrm{AB}=\frac{2}{9} \mathrm{AC}$ है।
हल :
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[-6(6+8)-4(-8-10)+3(10-6)]$
$=\frac{1}{2}[-6 \times 14-4 \times-18+3 \times 4]$
$=\frac{1}{2}[-84+72+12]$
$=\frac{1}{2} \times 0=0 .$
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4+6)^{2}+(6-10)^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(3+6)^{2}+(-8-10)^{2}} \\ &=\sqrt{81+324}=\sqrt{405} \end{aligned}$
$=9 \sqrt{5}$ इकाई।
$AB=\frac{2}{9} \mathrm{AC} $ से दायाँ पक्ष लेने पर,
$=\frac{2}{9} \times 9 \sqrt{5}=2 \sqrt{5}$= बायाँ पक्ष।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(a, b+c),(b, c+a)$ और $(c, a+b)$ सरेख हैं।
हल :
माना बिन्दु $\mathrm{A}(a, b+c), \mathrm{B}(b, c+a)$ तथा $\mathrm{C}(c, a+b)$ सरेख हों, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[a(c+a-a-b)+b(a+b-b-c)+c(b+c-c-a)] \\&=\frac{1}{2}[a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)] \\&=\frac{1}{2}[a c-a b+a b-b c \mid+b c-a c] \\&=\frac{1}{2} \times 0 \\&=0\end{aligned}$
इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
यदि बिन्दु $\mathrm{P}(-3,9), \mathrm{Q}(a, b)$ और $\mathrm{R}(4,-5)$ सरेख हैं और $a+b=1$ हो, तो $a$ तथा $b$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यदि बिन्दु $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ तथा $\mathrm{R}$ संरेख हों,
तब $\Delta \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल $=0$
$\frac{1}{2}[-3(b+5)+a(-5-9)+4(9-b)]=0$
$\begin{aligned}-3 b-15-14 a+36-4 b &=0 \\-14 a-7 b+21 &=0 \\ 14 a+7 b &=21 \\ 2 a+b &=3 \end{aligned}$.............(i)
$a+b=1$.........(ii)
समी. (i) में से (ii) घटाने पर,
$a=2$
$a$ का मान समी. (ii) में रखने पर,
$\begin{aligned} 2 \times 2+b &=3 \\ 4+b &=3 \\ b &=3-4=-1 \end{aligned}$
अत : $a=2$ तथा $b=-1$.
